二分算法

二分算法分为浮点数二分和整数二分，整数二分相对于浮点数二分来讲更复杂，需要考虑边界问题等

二分思想

二分算法的思想是就一段有序序列来讲，想要查找其中某一个数，可以先找到位于序列中点的数，如果目标值小等于中点值，且序列是单调递增的，那么目标值一定在中点左侧，这样再用同样的方式对左侧区间进行二分，如此查找，最后就会找到要找的数字

整数二分

整数二分思想上很好理解，就是将有序的序列从中间分开，判断目标值在哪半边，再继续二分那段序列就可以

下面给出整数二分的一个例子，包括了整数二分的两种写法

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100000;

int n, k;
int q[N];

int quick_sort(int l, int r, int k) {
	if (l == r)
		return q[l];
	int x = q[l], i = l - 1, j = r + 1;
	while (i < j) {
		while (x > q[++i]);
		while (x < q[--j]);
		if (i < j)
			swap(q[i], q[j]);
	}
	int sl = j - l + 1;
	if (k <= sl)
		return quick_sort(l, j, k);
	return quick_sort(j + 1, r, k - sl);
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &q[i]);
	}
	cout << quick_sort(0, n - 1, k);
}

这里之所以存在两种写法，主要区别在于求中点 mid 的值时，如果边界值采取不当的话，整数二分极有可能产生死循环导致程序崩溃，所以须在求 mid 时进行向下取整，即 mid = (l + r + 1) / 2

浮点数二分

在理解了整数二分的基础上，理解浮点数二分就变得十分简单了，因为浮点数二分不会涉及到边界问题，所以在确定边界值上十分简单，下面是用浮点数二分的思想实现的开平方问题

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
	double x;
	cin >> x;
	double l = 0, r = x;
	while (r - l > 1e-6) {
		double mid = (l + r) / 2;
		if (mid * mid >= x)
			r = mid;
		else
			l = mid;
	}
	cout << l;
}